STATISTIKA 6 BAB 5

BAB V

 MOMENT, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS

 1. Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil



Kemiringan              simetri (normal)             kemiringan                 Negatif                            positif


Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang bisa digunakan untuk menghitung koefisien skewness yaitu :

    Rumus pearson

3 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)



    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2  ∑ ( X1 X ̅ )3


    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3  ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
 X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan

    Rumus bowley

Rumus ini menggunakan nilai kuartil :

    3 =  (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 ) 
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga


Cara menentukan kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2  =  Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya jika distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1

Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang menunjukan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan pada dasarnya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan memiliki nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang menyebabkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan jika kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.

Analisis kasus :
Tabel 2.1
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode 
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368


Sebelum menggunakan rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
 X ̅ = A + ((∑〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
 X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2  n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026

Standar Deviasi :
        
        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan menunjukan bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan

2. Ukuran Keruncingan (kurtosis)
Merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Jika bentuk kurva runcingberarti nilai data terkonsentrasi terhadap nilai rata-tata atau nilai penyebarannya kecil, sebaliknya jika bentuk kurva nya tumpul berarti nilai data tersebar terhadap nilai rata-rata atau nilai penyebaran besar. Keruncingan distribusi data ini disebut juga kurtosis.
Derajat keruncingan suatu distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:
    Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi atau bentuk distribusi yang ujungnya sangat runcing
    Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya tidak terlalu runcing atau tidak terlalu tumpul
    Platikurtis 
Distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar

            Mesokurtis                              leptokurtis                              platikurtis
Derajat keruncingan distribusi data α4 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut 
    Data tidak berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ ( Xi - X ̅)4

    Data berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ fi ( mi - X ̅ )4

Keterangan :
α4    = Derajat keruncingan
Xi    = nilai data ke – i
        = nilai rata-rata hitung
fi    = frekuensi kelas ke – i
mi    = nilai titik tengah ke –i
S    = simpangan baku
n     = banyaknya data

dari  penggunaan rumus  diatas akan menghasilkan kemungkinan tiga nilai yaitu :
        α4 = 3 distribusi keruncingan data disebut mesokurtis
        α4 > 3 distribusi keruncingan data disebut leptokurtis
        α4 < 3 distribusi keruncingan data disebut platikurtis

Analisis kasus :
Tabel 2.2
Cara perhitungan koofisien keruncingan
Dari data penghasilan keluarga
Penghasilan keluarga    Frekuensi    U    f.U    f.U2    f.U3    f.U4
10-22    5    -3    -15    45    -135    405
23-35    6    -2    -12    24    -48    96
36-48    13    -1    -13    13    -13    13
49-61    19    0    0    0    0    0
62-74    11    1    11    11    11    11
75-87    11    2    22    44    88    176
88-100    5    3    15    45    135    405
jumlah    70         8    182    38    1106

s = i √((n∑fU^2-(∑f.〖U)〗^2)/(n(n-1)))
s = 13 √(((70)(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))      

s = 13 √19,81

s = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein kurtosis :

α4 = [(∑f.U^4)/n-4{(∑f.U^3)/n}{(∑f.U^ )/n}+6{(∑f〖.U〗^2)/n} {(∑f.U)/n}^2-3{(∑f.U)/n}^4 ]  i^4/s^4 

α4 = [1106/70-4{38/70}{8/70}+6{182/70} {8/70}^2-3{8/70}^4 ]  〖13〗^4/〖57.86〗^4 

α4 = (15.7557) (0,00255)

α4 = 0.040    

STATISTIKA 4 BAB 3

Tendensi Sentral

UKURAN NILAI SENTRAL DAN UKURAN NILAI LETAK

A. Pengertian Nilai Sentral

Tendensi sentral merupakan upaya mengetahui kondisi kelompok subyek dengan mengetahui nilai sentral yang dimiliki. Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya memiliki tendensi (kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini. Tendensi sentral ini memberi informasi tentang kecenderungan data dari kelompok sumber yang ada sebagai deskripsi dasar tentang kondisi kelompok sumber (subyek).

B. Macam Nilai Sentral

1. Arithmatic Mean (Rata-rata)

Disebut dengan nama rata-rata. mean memberi informasi tentang besaran rata-rata yang ada pada data.

a. Menghitung rata-rata dengan data mentah

Bila data yang hendak dihitung masih dalam bentuk data raw input maka penghitungan rata-ratanya adalah jumlah seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya kejadian atau frekuensi.

X = dibaca X bar merupakan notasi untuk nilai rata-rata
 = dibaca sigma, yang berarti jumlah
X = nilai data dari X1 … Xn

Contoh: Persentase Keuntungan lima belas perusahaan

CV ASRI	CV BESRI	CV CESRI	CV DESRI	CV ESRI
5	6	8	7	9
CV FESRI	CV GESRI	CV HESRI	CV ISRI	CV JESRI
4	3	3	5	6
CV KESRI	CV LESRI	CV MESRI	CV NESRI	CV OSRI
3	4	3	4	5

Mean  = (5 + 6 + 8 + 7 + 9 + 4 + 3 + 3 + 5 + 6 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5)/5 = 75/15 = 5

b. Menghitung rata-rata dengan data dari table distribusi frekuensi

Bila data sudah tersaji dalam bentuk data frekuensi maka dipergunakan rumus:

Sebagai contoh tabel berikut:

Nilai Skor Keuntungan 15 Perusahaan
No	X	f	fX
1	3	4	12
2	4	3	12
3	5	3	15
4	6	2	12
5	7	1	7
6	8	1	8
7	9	1	9
	Jumlah	15	75

Mean = 75/15 = 5
 

2. Median

Median suatu rangkaian data adalah nilai tengah dari rangkaian data yang telah disusun secara berurut.

Contoh untuk Data Bercacah Ganjil:

Data:  3 4 5 5 6  Jumlah N = 5
Cara:
a. Susun data secara berurut.
b. Cari letak median dengan rumus
(letak median pada urutan ketiga)
c. Cari nilai median pada urutan ketiga (median = 5)

Contoh untuk Data Bercacah Genap:
Data: 3 4 4 5 6 6    Jumlah N = 6

a. Susun data secara berurut
b. Cari letak median dengan rumus
(letak median pada urutan 3,5)
c. Cari nilai median pada urutan 3,5 [median = (4 + 5)/2 = 4,5

Bila data sudah tersaji dalam bentuk table distribusi frekuensi maka digunakan rumus:


Mdn = Median
Bbn = Batas bawah nyata dari interval yang mengandung mediam
n      = Jumlah subyek
Cfb  = Kumilatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung median
fd     = Frekuensi di dalam interval yang mengandung median
i        = Banyaknya nilai dalam tiap interval

Nilai Skor Keuntungan 15 Perusahaan
No	X	f	Cfb
1	9	1	15
2	8	1	14
3	7	1	13
4	6	2	12
5	5	3	10
6	4	3	7
7	3	4	4
Jumlah		15

Langkah:
1. Tentukan interval yang mengandung median dengan menghitung n/2. dalam hal ini 15/2 = 7,5
2. Beri tanda interval yang mengandung median. dalam hal ini baris ke lima
3. Cari Kumulatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung median, dalam hal ini 7.
4. Cari frekuensi yang ada di dalam interval yang mengandung median, dalam hal ini 3.
5. masukkan semua itu ke dalam rumus sebagai berikut:

3. Modus atau Mode

Modus dari suatu rangkaian data adalah nilai data yang paling sering muncul (frekuensi terbesar) dalam rangkaian data itu.

Contoh:
a. Data: 2 3 4 5 6
Karena data ini masing-masing frekuensi (kemunculan)-nya hanya 1, maka dikatakan tidak memiliki modus.
b. Data: 2 3 4 4 5 6
Frekuensi terbesar adalah 2 (nilai empat muncul dua kali). Jadi modusnya adalah 4. Rangkaian data yang memiliki satu modus disebut Mono-modus.
c. Data: 2 3 4 4 5 6 6 7
Frekuensi terbesar adalah dua (muncul dua kali) yaitu angka 4 dan 6.
Jadi modus rangkaian data ini adalah 4 dan 6. Rangkaian data ini memiliki 2 Modus atau disebut Bi-modus.

3. Teman-teman Median

Teman teman median merupakan nilai-nilai ukuran letak yang menentukan posisi nilai tertentu yang dimiliki subyek. Terdiri dari kuartil, desil dan persentil

a. Kuartil (K)

Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 4 bagian yang sama, yaitu 25% data berada di bawah Kuartil 1 dan 75% data berada di atas Kwartil 1.
Kuartil 2 sama dengan Median.



Contoh Perhitungan:
Data penjualan komputer selama 7 bulan terakhir:
Data: 2 4 3 3 6 5 7 (N = 7)

Langkah:
a. Susun data secara berurut, menjadi:
     2 3 3 4 5 6 7
     1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

b. Cari letak kuartil dengan rumus di atas:
K1 = 1(7 + 1)/4 = 8/4 = 2  data urutan kedua, jadi K1 = 3
K2 = 2(7 + 1)/4 = 16/4 = 4  data urutan keempat, jadi K2 = 4
K3 = 3(7 + 1) /4 = 24/4 = 6  data urutan keenam, jadi K3 = 6

b. Desil (D)
Desil dari suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama.
Rumus letak desil dapat dikembangkan dari rumus kuartil di atas. Tinggal kita ubah angka pembagi (100) dan bilangan persentil yang dikehendaki, 1 30, 78 ....)


Contoh Perhitungan:
Data: 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 9 10 (N=12)
Urut 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 9) 10) 11) 12)

Langkah:
a. Letak D1 = 1(12 +1)/10 = 13/10 = Urutan 1,3 (atau 1 + 0,3)

Letak Desil 1 Bilangan Nilai
1 2 2
0,3 (3-2) 0,3
1,3 2,3

Nilai desil 1 adalah data urutan 1,3, yang bernilai 2,3.

b. D5 = 5(12 + 1)/10 = 65/10 = 6,5 (atau 6 + 0,5)

Letak Desil 5 Bilangan Nilai
6 5 5
0,5 (6-5) 0,5
6,5 5,5

Nilai desil 5 adalah data urutan ke 6,5, yang bernilai 5,5.

c. D9 = 9(12 + 1)/10 = 117/10 = 11,7 (atau 11 + 0,7)

Letak Desil 9 Bilangan Nilai
11 9 9
0,7 (10-9) 0,7
11,7 9,7

Nilai desil 9 adalah data urutan ke-12 (Desil 9 = 10).

c. Persentil (P)
Persentil suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar.

Rumus persentil juga dapat dikembangkan dari rumus kuartil, tinggal kita ubah angka pembagi (100) dan bilangan persentil yang dikehendaki, 1 30, 78 ....)

Contoh Perhitungan Persentil:
Data: 2 3 3 4 4 5 6 7 10 12 13  N = 11
Urut: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)  9) 10) 11)

Langkah:
a) Tentukan letak data
b) Letak nilai P50 = 50(11 + 1)/100 = 6
Nilai P 50 adalah data nomor urut 6 (P50 = 5)

c) Letak P20 = 20(11+1)/100 = 240/100 = 2,4 (atau 2 + 0,4)

Letak Persentil 20 Bilangan Nilai
2 3 3
0,4 (3-3) 0
2,4 3

Nilai P 20 adalah data pada urutan 2,4 (P20 = 3)

Data: 2 3 3 4 4 5 6 7 10 12 13 N = 11
Urut: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)  9) 10) 11)

d) Letak P60 = 60 (11 + 1)/100 = 720/100 = 7,2 (atau 7 + 0,2)

d. Bila data sudah tersaji dalam bentuk tabel.
Kadang kita menemukan data yang sudah tersaji dalam bentuk tabel maka rumus yang digunakan sama dengan yang telah ada di median hanya kita tingga mengubah pembanginya sesuai dengan jumlah bagian yang dikehendaki serta mengubah bilangannya sesuai dengan posisi titik yang dikehendaki (Kuartil 1, Desil 6 dll). Sebagai contoh di sini disampaikan rumus kuartil:


Ki    =   Kuartil ke i
Bbn =  Batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil ke i
n      =  Jumlah subyek
Cfb  =  Kumilatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung
             kuartil ke i
fd     =   Frekuensi di dalam interval yang mengandung kuartil ke i
i       =  Banyaknya nilai dalam tiap interval

Demikian masalah tendensi sentral. yang jelas tendensi sentral ini sangat berfungsi bagi kita untuk membuat deskripsi data secara lebih jelas sehingga diketahui kecenderungan-kecenderungan yang dimiliki oleh kelompok subyek data.