TUGAS STATISTIKA 7 BAB 6

BAB 6

Distribusi normal, f,t 

• 1. DISTRIBUSI NORMALRatu Ilma Indra Putri2. Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal seringdisebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang palingpenting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG(BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata sebagai sumbu simetrisnya.X
• 3. Variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakandengan persamaan :22121)µπσxexfDengan :Dengan :π = Nilai konstan yang ditulis hingga 4 desimal π = 3,1416e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusiσ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusiJika Nilai x mempunyai batas nilai , maka dikatakan bahwavariabel acak X berdistribusi normal.∞<<∞− x
• 4. 1. Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)2. Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ3. Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/σ4. Grafik mendekati sumbu-X pada X = µ-3µ dan X = µ+3µ5. Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sampel n ≥ 306. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas.Sifat-sifat penting dari distribusi normal adalah :Untuk tiap pasang µ dan σ,sifat-sifat di atas selalukurva normal denganμ = 10 dan σ = 5kurva normal dengan μ = 20 danσ = 7sifat-sifat di atas selaludipenuhi, hanya bentukkurvanya saja yang berlainan.Jika σ makin besar, kurvanyamakin rendah (platikurtik) danuntuk σ makin kecil, kurvanyamakin tinggi (leptokurtik).
• 5. Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni )( bXaP <<( ) dxebXaPxba2211 σµπσUntuk penggunaan praktis telah dibuat daftar distribusi normal baku (standar)yaitu dengan µ = 0 dan σ = 1 sehingga fungsi densitasnya berbentuk :22121)(ππ−−= ezfDengan batas z yaitu ∞<<∞− z
• 6. Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal bakudigunakan rumus :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :
• 7. Setelah distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal umum makadaftar distribusi normal baku dapat digunakan. Bagian-bagian luas distribusinormal baku dapat dicari. Caranya adalah :1. Hitung z sehingga dua desimal2. Gambarkan kurvanya seperti gambar normal standar3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hinggamemotong kurva.6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, makadidapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harusdituliskan dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengangaris tegak di titik nol.5. Dalam tabel normal cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya satudesimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
• 8. Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku yang akan dicari luas daerahyaitu :1 Antara z = 0 dan z = 2.15Gunakan tabel Distribusi Normal.Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1dan di atas sekali cari angka 5.dari 2,1 maju ke kanan dan 5menurun, didapat 0.4842.Luas daerah yang dicari, dilihatdaerah yang diarsir = 0,9842.2Antara z = 0 dan z = -1.86karena z bertanda negatif, makapada grafiknya diletakkan disebelah kiri 0. Untuk daftardigunakan di bawah z kolomkiri didapat 1,8 dan di atasangka 6. Dari 1,8 ke kanan dandari 6 ke bawah didapat 0.4686Luas daerah=daerah diarsir =0,4686.
• 9. 3 Coba Anda Gambar ……4 Indeks prestasi kumulatif (IPK) rata-ratamasasiswa suatu perguruan tinggi adalah2.76 dengan simpangan baku 0.40. jikaantara z = -1.50 dan z = 1.82dari grafik terlihat kita perlu mencari luas dua kali,lalu dijumlahkan.Mengikuti cara di 1 untuk z = 1.82 dan cara di 2untuk z = -1.50, masing-masing didapat 0,4656dan 0,4332.Jumlahnya = luas yang diarsir = 0,4332 +0,4656=0,8988Dari tabel normal proporsi luas antara z = 0dan z = 0.60 adalah 0.2257 sehingga proporsimahasiswa dengan IPK 3.00 (bagian yangdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau1,82-1,502.76 dengan simpangan baku 0.40. jikadiasumsikan IPK berdistribusi normal, berapapersenkah mahasiswa yang memperolehIPK ≥ 3.00 ?Penyelesaian :Letak IPK = 3.00 pada kurav normalditunjukkan oleh bilangan baku :6.040.076.200.3=−=−=σµXZdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau27.43%Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, makadilakukan langkah sebaliknya.
• 10. Fenomena distribusi data normal :• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerahsatu simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - σ dan µ + σ.• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerahdua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitudua simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 2σ dan µ + 2σ.• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerahtiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 3σ dan µ + 3σ.
• 11. Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaanrentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yangmeruncing tinggi karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.2. Platykurtic, merupakan kurva normal yangmendatar rendah karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yangbiasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antaraleptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skorbiasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
• 12. Bentuk ketiga kurva normal itu dapatdilihat pada grafik, berikut ini :
• 13. DISTRIBUSI FDISTRIBUSI F
• 14. Distribusi F merupakan distribusi variabel acak kontinu. Fungsidensitasnya mempunyai persamaan :( )2112121)2(211.)(vvvvFvFKFf+=2Dimana :F = Variabel acak yang memenuhi F > 0K = Bilangan tetap yang harganya bergantung pada derajat kebebasan v1 dan v2v1 = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)v2 = Derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)Luas dibawah kurva sama dengan satu.
• 15. Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 denganderajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yangdiarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas danderajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.Distribusi FDengan v1 danv2 adalah derajatkebebasanareaNotasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dandk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :F0.05(24,8) = 3.12 dan F0.01(24,8 )= 5.28
• 16. Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01,tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan0,95. Untuk ini digunakan hubungan :( )( )( )21,,11vvpvvpFF =−( )2121,vvpFDalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antaraderajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1).
• 17. DISTRIBUSI STUDENT (t)DISTRIBUSI STUDENT (t)
• 18. Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normalialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnyaadalah :nntKtf21211 −Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhiK merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikiansehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.∞<<∞− t
• 19. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akandisingkat dengan dk.Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukanoleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekatipola distribusi normal.n = ∞n = 10n = 2n = 2Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baristeratas berisikan nilai peluang.
• 20. Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luasbagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yangdicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.
• 21. Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi-t1. Untuk n = 13, jadi dk = (n-1) = 13 - 1 = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,782ini didapat (lihat tabel distruibusi-t) dengan jalan maju ke kanan dari 12 danmenurun 0,95.2. Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini pyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangdiminta kurang dari 0,5, maka t harus bertanda negatif. Jadi t = - 1,83