TUGAS STATISTIKA 7 BAB 6

BAB 6

Distribusi normal, f,t 

• 1. DISTRIBUSI NORMALRatu Ilma Indra Putri2. Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal seringdisebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang palingpenting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG(BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata sebagai sumbu simetrisnya.X
• 3. Variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakandengan persamaan :22121)µπσxexfDengan :Dengan :π = Nilai konstan yang ditulis hingga 4 desimal π = 3,1416e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusiσ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusiJika Nilai x mempunyai batas nilai , maka dikatakan bahwavariabel acak X berdistribusi normal.∞<<∞− x
• 4. 1. Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)2. Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ3. Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/σ4. Grafik mendekati sumbu-X pada X = µ-3µ dan X = µ+3µ5. Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sampel n ≥ 306. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas.Sifat-sifat penting dari distribusi normal adalah :Untuk tiap pasang µ dan σ,sifat-sifat di atas selalukurva normal denganμ = 10 dan σ = 5kurva normal dengan μ = 20 danσ = 7sifat-sifat di atas selaludipenuhi, hanya bentukkurvanya saja yang berlainan.Jika σ makin besar, kurvanyamakin rendah (platikurtik) danuntuk σ makin kecil, kurvanyamakin tinggi (leptokurtik).
• 5. Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni )( bXaP <<( ) dxebXaPxba2211 σµπσUntuk penggunaan praktis telah dibuat daftar distribusi normal baku (standar)yaitu dengan µ = 0 dan σ = 1 sehingga fungsi densitasnya berbentuk :22121)(ππ−−= ezfDengan batas z yaitu ∞<<∞− z
• 6. Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal bakudigunakan rumus :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :σµ−=XZPerubahan grafiknya dapat dilihat dalam gambar berikut ini :
• 7. Setelah distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal umum makadaftar distribusi normal baku dapat digunakan. Bagian-bagian luas distribusinormal baku dapat dicari. Caranya adalah :1. Hitung z sehingga dua desimal2. Gambarkan kurvanya seperti gambar normal standar3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hinggamemotong kurva.6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, makadidapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harusdituliskan dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengangaris tegak di titik nol.5. Dalam tabel normal cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya satudesimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
• 8. Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku yang akan dicari luas daerahyaitu :1 Antara z = 0 dan z = 2.15Gunakan tabel Distribusi Normal.Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1dan di atas sekali cari angka 5.dari 2,1 maju ke kanan dan 5menurun, didapat 0.4842.Luas daerah yang dicari, dilihatdaerah yang diarsir = 0,9842.2Antara z = 0 dan z = -1.86karena z bertanda negatif, makapada grafiknya diletakkan disebelah kiri 0. Untuk daftardigunakan di bawah z kolomkiri didapat 1,8 dan di atasangka 6. Dari 1,8 ke kanan dandari 6 ke bawah didapat 0.4686Luas daerah=daerah diarsir =0,4686.
• 9. 3 Coba Anda Gambar ……4 Indeks prestasi kumulatif (IPK) rata-ratamasasiswa suatu perguruan tinggi adalah2.76 dengan simpangan baku 0.40. jikaantara z = -1.50 dan z = 1.82dari grafik terlihat kita perlu mencari luas dua kali,lalu dijumlahkan.Mengikuti cara di 1 untuk z = 1.82 dan cara di 2untuk z = -1.50, masing-masing didapat 0,4656dan 0,4332.Jumlahnya = luas yang diarsir = 0,4332 +0,4656=0,8988Dari tabel normal proporsi luas antara z = 0dan z = 0.60 adalah 0.2257 sehingga proporsimahasiswa dengan IPK 3.00 (bagian yangdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau1,82-1,502.76 dengan simpangan baku 0.40. jikadiasumsikan IPK berdistribusi normal, berapapersenkah mahasiswa yang memperolehIPK ≥ 3.00 ?Penyelesaian :Letak IPK = 3.00 pada kurav normalditunjukkan oleh bilangan baku :6.040.076.200.3=−=−=σµXZdiarsir) adalah 0.5000 – 0.2257 = 0.2743 atau27.43%Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, makadilakukan langkah sebaliknya.
• 10. Fenomena distribusi data normal :• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerahsatu simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - σ dan µ + σ.• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerahdua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitudua simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 2σ dan µ + 2σ.• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerahtiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaituantara µ - 3σ dan µ + 3σ.
• 11. Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaanrentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yangmeruncing tinggi karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.2. Platykurtic, merupakan kurva normal yangmendatar rendah karena perbedaan frekuensi padaskor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yangbiasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antaraleptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skorbiasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
• 12. Bentuk ketiga kurva normal itu dapatdilihat pada grafik, berikut ini :
• 13. DISTRIBUSI FDISTRIBUSI F
• 14. Distribusi F merupakan distribusi variabel acak kontinu. Fungsidensitasnya mempunyai persamaan :( )2112121)2(211.)(vvvvFvFKFf+=2Dimana :F = Variabel acak yang memenuhi F > 0K = Bilangan tetap yang harganya bergantung pada derajat kebebasan v1 dan v2v1 = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)v2 = Derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)Luas dibawah kurva sama dengan satu.
• 15. Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 denganderajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yangdiarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas danderajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.Distribusi FDengan v1 danv2 adalah derajatkebebasanareaNotasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dandk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :F0.05(24,8) = 3.12 dan F0.01(24,8 )= 5.28
• 16. Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01,tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan0,95. Untuk ini digunakan hubungan :( )( )( )21,,11vvpvvpFF =−( )2121,vvpFDalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antaraderajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1).
• 17. DISTRIBUSI STUDENT (t)DISTRIBUSI STUDENT (t)
• 18. Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normalialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnyaadalah :nntKtf21211 −Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhiK merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikiansehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.∞<<∞− t
• 19. Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akandisingkat dengan dk.Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukanoleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekatipola distribusi normal.n = ∞n = 10n = 2n = 2Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baristeratas berisikan nilai peluang.
• 20. Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luasbagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yangdicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.
• 21. Beberapa contoh penggunaan daftar distribusi-t1. Untuk n = 13, jadi dk = (n-1) = 13 - 1 = 12, dan p = 0,95 maka t = 1,782ini didapat (lihat tabel distruibusi-t) dengan jalan maju ke kanan dari 12 danmenurun 0,95.2. Tentukan t sehingga luas dari t ke kiri = 0,05 dengan dk = 9. Untuk ini pyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangyang digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. karena yangdiminta kurang dari 0,5, maka t harus bertanda negatif. Jadi t = - 1,83

BAB 2 cara penyajian data

BAB 2

Cara penyajian data

A.    Macam – Macam Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Pada dasarnya  banyak cara untuk menyajikan data sehingga ia dapat dipahami dan digunakan secara tepat oleh pengolah data. Namun untuk menghasilkan gambaran data yang komunikatif, harus diingat untuk  menyajikan sesuai kebutuhan. Dalam hal ini, penyajian data dalam bentuk tabel bertujuan untuk memberikan informasi dan gambaran mengenai jumlah secara terperinci sehingga memudahkan pengolah data dalam menganalisis data tersebut. Macam – macam penyajian data dalam bentuk tabel antara lain:

1.      Tabel Baris Kolom

Tabel yang lebih tepat disebut tabel baris kolom ini adalah tabel-tabel yang dibuat selain dari tabel kontingensi dan distribusi frekuensi yaitu tabel yang terdiri dari baris dan kolom yang mempunyai ciri tidak terdiri dari faktor-faktor yang terdiri dari beberapa kategori dan bukan merupakan data kuantitatif yang dibuat menjadi beberapa kelompok.

Contoh, tabel daftar ip seorang mahasiswa pendidikan matematika

No	Semester	IP
1	I	3,12
2	II	3,00
3	III	3,39
4	IV	3,37
5	V	2,9
6	VI	3,3
7	VII	3,4

Tabel 1.  Baris kolom

2.      Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi merupakan bagian dari tabel baris kolom, akan tetapi tabel ini mempunyai ciri khusus, yaitu untuk menyajikan data yang terdiri atas dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori dan lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris dan k menyatakan kolom.

Contoh Banyak Murid Sekolah Di Daerah Inderalaya Menurut Tingkat Sekolah Dan Jenis Kelamin Tahun 2006

JENIS KELAMIN	TINGKAT SEKOLAH			JUMLAH
	SD	SMP	SMA
Laki – laki	4756	2795	1459	9012
Perempuan	4032	2116	1256	7404
Jumlah	8790	4911	2715	16416

Tabel 2.  Tabel kontingensi

3.      Tabel Silang

Data hasil penelitian yang berupa perhitungan frekuensi pemunculan data juga dapat disajikan ke dalam bentuk tabel silang. Tabel silang dapat hanya terdiri dari satu variable tetapi dapat juga terdiri dari dua variable. Tergantung pertanyaan atau keadaan yang ingin dideskripsikan. Dengan demikian, pemilihan penyajian data ke dalam tabel silang satu atau dua variable akan tergantung dari data yang diperoleh.( (Burhan Nurgiyantoro, 2004:42)

Tabel silang satu variable digunakan untuk menggambarkan data dengan menampillkan satu karakteristiknya saja. Misal jumlah keseluruhan. Sementara tabel silang dua variable digunakan untuk menggambarkan data dengan menampilkan dua karakteristiknya. Misalnya jumlah keseluruhan dan jumlah per gender.

Contoh:

Dalam suatu penelitian angket pada 34 siswa kelas XI.A tentang mata pelajaran MIPA yang disukai, diperoleh hasil data sebagai berikut:

No.	Mata Pelajaran	Jumlah
1	Matematika	11
2	Kimia	10
3	Fisika	7
4	Biologi	6

Tabel 2.1 Penyajian Data dalam bentuk tabel silang satu variable

No.	Mata Pelajaran	Siswa Yang Menyukai		Jumlah
		Siswa Laki - Laki	Siswa Perempuan
1	Matematika	8	3	11
2	Kimia	4	6	10
3	Fisika	5	2	7
4	Biologi	2	4	6

Tabel 2.2 Penyajian Data dalam bentuk tabel silang dua variable

B.     Macam – macam Penyajian Data dalam Bentuk Grafik

Selain dapat disajikan ke dalam bentuk tabel sebagaimana dikemukakan di atas, data-data angka juga dapat disajikan ke dalam bentuk grafik, atau lengkapnya grafik frekuensi. Pembuatan grafikfrekuensi pada hakikatnya merupakan kelanjutan dari pembuatan tabel distribusi frekuensi karena pembuatan grafik itu haruslah didasarkan pada tabel distribusi frekuensi. Dengan kata lain, pembuatan tabel distribusi frekuensi harus tetap dilakukan baik kita bermaksud maupun tidak bermaksud membuat grafik frekuensi. Penyajian data angka ke dalam grafik biasanya dipandang lebih menarik karena data-data itu tersaji dalam bentuk visual. Gambar grafik frekuensi yang banyak dipergunakan dalam metode statistik adalah histogram, polygon, kurve dan garis. (Burhan Nurgiyantoro, 2004:43-44)

1.      Grafik Histogram / Batang

Histogram merupakan grafik dari distribusi frekuensi suatu variable. Tampilan histogram berupa petak-petak empat persegi panjang. Sebagai sumbu horizontal boleh memakai tepi-tepi kelas, batas-batas kelas atau nilai variabel yang diobservasi, sedang sumbu vertical menunjukkan frekuensi. Untuk distribusi bergolong atau berkelompok yang menjadi absis adalah nilai tengah dari masing-masing kelas. (Drs. Ating Somantri, 2006:113)

2.      Grafik Poligon

Poligon merupakan grafik distribusi dari distribusi frekuensi bergolong suatu variable. Tampilan polygon berupa garis-garis patah yang diperoleh dengan cara menghubungkan puncak dari masing-masing nilai tengah kelas. Jadi absisnya adalah nilai tengah dari masing-masing kelas. (Drs. Ating Somantri, 2006:114)

3.      Grafik Kurve

Kurve merupakan perataan atau penghalusan dari garis-garis polygon. Gambar polygon sering tidak rata karena adanya perbedaan frekuensi data skor dan data skor itu sendiri mencerminkan fluktuasi sampel. Pembuatan kurve dilakukan dengan meratakan garis gambar polygon yang tidak rata dan terlihat tidak beraturan sehingga menjadi rata. (Burhan Nurgiyantoro, 2004:49)

4.      Grafik Garis

Grafik garis dibuat biasanya untuk menunjukkan perkembangan suatu keadaan. Perkembangan tersebut bias naik bias turun. Hal ini akan Nampak secara visual melalui garis dalam grafik. Dalam grafik terdapat garis vertical yang menunjukkan jumlah dan yang mendatar menunjukkan variable tertentu yang ditunjukkan pada gambar dibawah, yang perlu diperhatikan dalam membuat grafik adalah ketepatan membuat skala pada garis vertical yang akan mencerminkan keadaan jumlah hasil observasi. (Dr. Sugiyono, 2002:34)

Contoh : Perkembangan nilai ujian matematika Adit semester 1 tahun ajaran 2012/2013 sebagai berikut:

Ujian Semester ke	Nilai
1	80
2	95
3	60
4	100
5	85

C.     Diagram Lingkaran

Cara lain untuk menyajikan data hasil penelitian adalah dengan diagram lingkaran. Diagram lingkaran digunakan untuk membandingkan data dari berbagai kelompok. (Dr. Sugiyono, 2002:37)

Contoh            : Dari hasil penelitian mengenai pelajaran matematika dengan sampel 50 siswa di smp  negeri 24 prabumulih diperoleh data sebagai berikut:

No	Penilaian	Jumlah
1	Sangat Suka	12
2	Suka	13
3	Tidak Suka	19
4	Sangat Tidak Suka	6